>ちなみに、「はい」を押したら押したで「模様画像の保存に失敗しました。」とエラーが出てどうにもなりません。

保存に失敗するのは、HDRなど保存に対応していない読み込み専用の形式の画像を使っているからではないでしょうか？

＞HDRなど保存に対応していない読み込み専用の形式の画像を使っているからではないでしょうか？

　そうですね、PSD形式の画像を読み込んでいるからそのせいのようです。
再確認したところ、ダイアログが出続けるのは下記の手順で確認できます。

１．「画像記憶、再配置」または、自動展開で「マッピング画像の再配置」を一度でも行う

２．Ctrl+Zなどで元に戻して再配置前の状態に戻す。

３．UVの再配置は行われてないのに、材質リストでその材質を選んで別の材質を選ぶたびに「マッピング画像は変更されています。保存しますか？」と確認ダイアログが出てくる。

元に戻してUVの変更箇所が無いのに画像の再配置を行おうとししてるのがまず問題だと思います。
これを行わないように修正お願いします。

また、BMPで「はい」を押して保存したところ再配置した画像が「上書き保存」されますがこれは大変恐ろしいです。
基本的に、再配置画像の保存は上書き保存ではなく別名で保存する処理にしてほしいです。
「はい」を押したら別名保存のダイアログが出てユーザーがリネームして保存するか、そのまま上書き保存するか選択できるように修正してほしいです。
うっかり「はい」を押してしまったら元画像を戻すことができません。

もしくは、保存時に元画像をバックアップする処理を入れてほしいです、問答無用で上書き処理する動作はミス操作した場合とても怖いです。